ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ КОМБИНАТОРНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Известно, что чем меньше возраст, тем легче усваиваются новые идеи, кок рые потом явятся фундаментом всей системы представлений человека о мир Начальное школьное образование призвано заложить основы научного мир воззрения, но, к сожалению, обычно упускает из виду одну из краеугольных стохастическую его часть. Школьные учебники изображают окружающий на мир строго детерминированным, лишенным случайности. Мы считаем необхс димым знакомить детей с фундаментальными понятиями дискретности и вере ятности как можно раньше. Это требует поиска соответствующих путей. Можк пытаться переделывать пособия для высшей школы, упрощая их применительн к школьному уровню и подбирая более развлекательный материал. Подобны образом до сих пор поступают почти все авторы научно-популярной литератур: по комбинаторике и теории вероятностей. Однако возможен в корне иной пуп постараться так изменить систему ихюжения, чтобы расширились возможност обучения и снизился уровень требований к подготовке учащихся.

При этом можно не дожидаться, пока ученик, дойдя до старших или хотя (» средних классов, «будет готов» к восприятию идей дискретной математики. Эксперимент, проведенный автором в 1995/96 уч.г. с учащимися 5—б-х классе» школы Леонова (г. Иркутск), подтвердил предположение, что при надлежаще отборе материала и выборе соответствующих методик, успешное восприяти основных понятий данного раздела математики возможно уже с младшег школьного возраста.

Есть прекрасные пособия по различным разделам школьной математики (6 Учебник же по комбинаторике для начальной школы, по-видимому, ещё ждё своего автора. Да и нужен, по нашему мнению, не учебник, а скорее книга дк чтения, руководство по проведению игр и опытов или экспериментальное введение в комбинаторику и теорию вероятностей, иными словами, приглашение! конкретным действиям, с большим количеством разнообразных предметов разноцветных жетонов, фишек, шариков, волчков, разного рода клетчатых до сок, коробочек, игральных костей, монет. Полезны также популярные настоль ные игры: шахматы и шашки, домино и лото, детская мозаика и т. п. Весь эте обширный методический материал позволит преподавателю ввести ребенка I мир увлекательных игр, цель которых — не только развлечения. Эти игры разв* вают лучшие стороны детского интеллекта, открывают ребенку новые точи зрения на окружающий мир.

При развитии комбинаторных способностей у младших школьников нужне придерживаться следующего основного методического принципа: учить не го товым формулам, теоремам и определениям, а некоторым простейшим навыках и умениям [I). Сначала деги должны научиться строить комбинации предметов удовлетворяющие заданным условиям, находить среди этих комбинаций один* ковые и различные; затем они приобретают более сложные навыки — в упорядо чении перебора, составлении таблиц, использовании «дерева возможностей» — графа [2]. Лишь после этого организуется ознакомление с первыми формулами, точнее, даже не с формулами, а с методами подсчета количества возможностей или комбинаций предметов. Хотя комбинаторика традиционно считается труд­ным предметом даже для старшеклассников, нам кажется, что почти весь обыч­но изучаемый в старших классах материал вполне доступен младшим школьни­кам, а часть его — и дошкольникам.

Уже на уровне начальной школы даже простое знакомство с вероятностью дает много плодотворных идей. Не знакомые с этим понятием дети имеют пре­вратное представление о математике: они думают, что между «истиной» и «ло- хью» ничего больше нет! И обычно только в более старшем возрасте с удивле­нием обнаруживается существование целой области математики, базирующейся на понятии «может быть»! К сожалению, далеко не всем известно, *гго матема­тика соприкасается с обыденной жизнью гораздо теснее, чем этому учат в шко­ле. Поэтому, чем раньше введено понятие вероятности, тем меньше риска ус­лышать мнение, что математика оторвана от повседневной жизни.

Разумеется, на уровне, начальной школы в теории вероятностей не уйдешь далеко; в самом деле, есть два ограничивающих фактора: во-первых, время со­средоточенности ребенка на заданном сюжете, которое относительно коротко, а во-вторых, отсутствие подходящих математических средств.

Действие первого фактора можно ослабить, выбирая привлекательные темы [5]. Что же касается второго фактора, то тут нас часто ограничивают сами школьные программы. Так, например, для изложения вероятностных понятий необходимо понятие дроби, и оно может выступать здесь как ограничивающий фактор. Но, со своей стороны, изучение вероятности дает прекрасный повод для введения и использования дробей. В самом деле, в этой области они и появля­ются совершенно естественно, и ведут к глубоким применениям.

Комбинаторика — важный инструмент для подступа к вероятности. Ее можно рассматривать как еще один ограничивающий фактор в преподавании. Между тем, опыт показывает, что комбинаторика независимо от вероятности может быть введена в начальное обучение. Она не требует никаких предварительных знаний, и ее легко связать с увлекательными занятиями.

В математическом образовании комбинаторика занимает, несомненно, при­вилегированное положение. Решение комбинаторной задачи, как правило, начи­нается с выяснения вопроса: существуют или не существуют элементы некото­рых конечных множеств с заданными свойствами? В том случае, когда они су­ществуют, второй этап требует объединить их в один класс и пересчитать. Ребе­нок всегда может начать такое исследование с экспериментов, оперируя с малым количеством элементов. Экспериментирование прекращается, когда их число становится для этого чересчур велико. Чтобы идти дальше, нужно рассуждать и при необходимости выработать дедуктивный метод. Так, проводя самостоятель­но многочисленные опыты, ребенок постепенно готовится к восприятию боль­шого числа понятий. Каких бы то ни было предварительных знаний при этом не требуется.

Удобно ввести общее понятие комбинаторной модели для обозначения раз­личных типов сочетаний или размещений с повторениями или без них. Элемен­ты этих моделей, некоторые из которых могут быть идентичны, образуют по­следовательности или циклы, удовлетворяющие или не удовлетворяющие опре­деленным правилам.

На первом этапе дети рассматривают конкретные модели. Это могут быть бусинки разной формы и цвета, позволяющие конструировать из них последова­тельности (или бусы); их можно также помещать в одинаковые или в разные ко­робочки; это могут быть и буквы алфавита, слоги или слова, из которых можно образовывать новые слова в соответствии с определенными правилами [9].

На втором этапе мы можем обозначать бусинки цветными точками на бумаге или начальными буквами названий цветов, или даже еще более абстрактно — произвольными буквами или цифрами.

Третий этап начинается с группировки моделей, обладающих общими харак­теристиками. Так, например, можно перечислить все последовательности трех точек, использующие три цвета: красный, желтый и зеленый. Последовательно­сти, содержащие все три цвета, принадлежат искомому множеству, а те, которые содержат только один или два цвета, принадлежат двум другим множествам. Можно разбить полученное множество на классы последовательностей, начи­нающихся на один и тот же цвет, а каждый класс разбить на подклассы с одина­ковым цветом второй точки. Этот метод классификации позволяет установить порядок на множестве последовательностей, если задан порядок на множестве цветов. Такая деятельность может послужить отправной точкой для знакомства с понятием отношения порядка.

Исследования можно упростить с помощью использования полуабстрактного представления, например, с помощью дерева (2). Часто достаточно лишь начать эффективно строить такое представление, а продолжить можно в уме. Очень скоро перечисление возможных моделей станет задачей более важной, чем по­строение самих моделей.

В предыдущем примере у нас было два параметра: число цветов и число то­чек в последовательности. Варьированием этих параметров можно подвести де­тей к составлению таблицы с двумя входами, в каждую клетку которой ставится количество соответствующих моделей. Можно предложить учащимся попробо­вать сделать обобщения, продолжить таблицу с помощью формул.

Описанный процесс должен привести к формированию общего понятия раз­мещения с повторениями и к открытию классов эквивалентности ситуаций. Не­которой части возможных комбинаторных ситуаций этот процесс не покрывает, хотя включает в то же время некоторое число неклассических случаев.

На занятиях лучше всего использовать объекты из мира ребенка: самих детей, их игрушки и т. д. [5]. Очень наглядно нанизывание бусинок, рисование после­довательности цветов, написание символов и т. д. Можно располагать пуговицы или жетоны различных цветов, — обычно хватает трех цветов. Детям предлагает­ся правило игры, например: построить последовательность из четырех жетонов, образованную двумя синими и двумя красными жетонами

Дети строят последовательности по очереди. Каждый раз, когда один из них построил новую последовательность, следующий должен проверить, удовлетво­ряет ли она сформулированному правилу. При обнаружении ошибки, или при повторении, ученик должен изменить полученный ряд. Если же все правильно, ребенок должен сам построить новую последовательность, отличную от преды­дущих.

Если число различных возможных последовательностей невелико, то воз­можно, что дети закончат игру, найдя их все. На этой стадии еще нельзя ожи­дать, что дети предпримут систематическое исследование всех возможных слу­чаев. Можно ожидать, что они смогут понять некоторый набор правил и опре­делить, соответствует ли данная последовательность данному правилу; распо­знать, является ли данная последовательность новой или повторяет старую; на­ходить все новые и новые различные последовательности, удовлетворяющие правилу; в простых случаях обнаружить их все; попытаться понять, почему на згой стадии уже больше невозможно обнаружить новую последовательность.

Возможны разные варианты таких правил. Например, взять жетоны трех цве­тов и строить последовательности, состоящие из двух жетонов, с повторением. цветов или без повторения. Это приводит к понятию размещения или сочетания с повторениями или без них — в зависимости от того, учитываем мы порядок или нет. Обычно дети замечают, что при одних предположениях последовательно­стей меньше, при других больше, и пытаются дать этому обоснование.

Обсуждение подобного положения нравится большинству детей; хотя их цель -разыскать как можно больше возможных последовательностей, но через неко­торое время они прекращают поиски. Тогда-то и начинаются наблюдения, а ино­гда, с помощью преподавателя, и обобщения. С педагогической точки зрения та­кая тактика, возможно, гораздо лучше, чем традиционная, когда жестко фикси­руется соответствие между возрастом и изучаемой темой.

От того, как оформить игру, существенно зависит возможность включения в нее разного рода стимулов. Например, можно сделать так: если ребенок объяв­ляет, что последовательность, которую он построил, верна, и если он прав, ему записывают одно очко; если он заявляет, что последовательность, образованная другим, неверна, и может это обосновать, он получает два очка; наконец, если он покажет, что последовательность, которую ему предстоит сконструировать, является последней возможной, он получает пять очков. В такой игре стремле­ние к выигрышу порождает стремление к систематизации.

Поиск последовательностей, удовлетворяющих определенным правилам, дает толчок к нахождению некоторого систематического порядка, а это открывает путь к определению количества таких последовательностей.

Может оказаться интересным также строить последовательности жетонов с помощью жребия: дети случайным образом вытаскивают один за другим жето­ны из ящика, затем они должны решить, образуют ли эти жетоны новую после­довательность.

В заключение отметим, что такое обучение облегчит ребенку восприятие в будущем других разделов математики, потому что комбинаторные понятия лег­ко выражаются на языке множеств и отображений, а методы рассуждений про­никают во многие ветви математики, в том числе и теорию вероятностей.

You can leave a response, or trackback from your own site.

Leave a Reply